Метод обратного кинематического синтеза плоского рычажного механизма

Abstract

Представлен оригинальный метод обратного кинематического синтеза плоского рычажного механизма для решения задачи о воспроизведении заданной траектории движения точки с учетом функциональных ограничений. В отличие от классических подходов, требующих предварительного решения прямой задачи кинематики и формирования целевой функции на основе невязки координат траекторий, предлагаемый метод базируется непосредственно на решении обратной задачи кинематики. Кинематическое описание механизма выполняется для каждого заданного положения целевой точки без использования обобщенной координаты с применением метода преобразования координат в неизменном базисе на основе теории комплексных чисел. Благодаря такому подходу удается свести задачу синтеза к минимизации среднеквадратичного отклонения длины всего одного замыкающего звена (ведущего звена) во всех расчетных положениях, что значительно упрощает аналитическое описание и повышает наглядность процесса поиска оптимального решения. Численная реализация предложенного метода выполнена в математическом пакете PTC MathCAD с использованием встроенной функции minimize(), реализующей квазиньютоновский метод поиска минимума. Для тестового примера воспроизведения траектории в форме эллипса, заданной десятью целевыми точками, получены оптимальные значения длин звеньев и координат неподвижных шарниров. Максимальная абсолютная погрешность отклонения расчетной траектории от заданных целевых точек не превысила 0,1 мм, относительная погрешность составила не более 1 %. Полученные результаты подтверждают работоспособность и высокую точность предложенного метода, который может быть рекомендован для практического использования при проектировании новых или модернизации существующих рычажных механизмов в различных отраслях машиностроения.

An original method for the inverse kinematic synthesis of a flat lever mechanism is presented for solving the problem of reproducing a given trajectory of a point motion taking into account functional constraints. In contrast to classical approaches that require preliminary solution of the forward kinematics problem and the formulation of an objective function based on the residual of trajectory coordinates, the proposed method is based directly on solving the inverse kinematics problem. The kinematic description of the mechanism is performed for each specified position of the target point without using a generalized coordinate, applying the method of coordinate transformation in a fixed basis using complex number theory. Due to this approach, it is possible to reduce the synthesis problem to minimizing the root-mean-square deviation of the length of a single closing link (the driving link) in all calculated positions, which significantly simplifies the analytical description and increases the clarity of the optimal solution search process. Numerical implementation of the proposed method is carried out in the mathematical package PTC MathCAD using the built-in minimize() function, which implements the quasi-Newton method for finding the minimum. For a test example of reproducing an elliptical trajectory defined by ten target points, optimal values of link lengths and coordinates of fixed pivots are obtained. The maximum absolute error of deviation of the calculated trajectory from the given target points did not exceed 0,1 mm, and the relative error was no more than 1 %. The obtained results confirm the operability and high accuracy of the proposed method, which can be recommended for practical use in the design of new or modernization of existing lever mechanisms in various branches of mechanical engineering.