Распад слабого разрыва и распространение волн в нелокальной среде с источником

Abstract

Рассмотрено пространственно нелокальное волновое уравнение четвертого порядка с источником. Результаты изложены в терминах теории теплопереноса. Производная от функции источника по температуре положительная (источник технического происхождения) либо отрицательная (источник, характерный для биологической ткани). Скорость волны (дозвуковая, звуковая, сверхзвуковая) определяется по отношению к скорости распространения тепловых возмущений. Даны примеры точного решения задачи о распаде слабого разрыва температурного поля. Эта задача состоит в следующем. В начальном состоянии непрерывное тепловое поле содержит точку, в которой располагается слабый разрыв, а именно: здесь терпит разрыв первого рода первая производная по координате. В последующем слабый разрыв распадается на две волны, распространяющиеся в противоположных друг другу направлениях. Подробно обсуждены разнообразные ситуации, при которых происходит возбуждение разбегающихся волн. Источник технического происхождения: две волны, бегущие с дозвуковой, звуковой либо сверхзвуковой скоростью; неоднородный фон перед волнами является пространственно-периодическим; в отдельном случае неоднородность фона локализована на обеих сторонах слабого разрыва. Источник в биологической ткани: тепловое поле между волнами есть суперпозиция двух бегущих волн, для которых произведение модулей скоростей перемещения равно квадрату скорости распространения тепловых возмущений. Неоднородный фон перед волнами является пространственно-периодическим и, в частности, представляет собой биения по пространственной координате. Построен пример распада слабого разрыва, для которого в ходе эволюции во времени в возмущенной области формируется стоячая волна.

A spatially non-local fourth-order wave equation with a source is considered. The results are set out in terms of the heat transfer theory. The temperature derivative of the source function is positive (a technical source) or negative (a source in biological tissue). The wave velocity (subsonic, sonic, supersonic) is determined with respect to the velocity of propagating heat perturbations. We give examples of the exact solving the problem of disintegration of a weak discontinuity in the temperature field. This problem is set as follows. In the initial state the continuous thermal field contains a point of a weak discontinuity; in that point the first coordinate derivative undergoes a first-order rupture. Further the weak discontinuity disintegrates into two waves which propagate in opposite directions. Initiation of such waves is discussed in detail. A technical source: two subsonic, sonic or supersonic waves; the nonuniform space in front of the waves is spatially periodic; in a particular case spatial non-uniformity is localized on both sides of a weak discontinuity. A source in biological tissue: the thermal field between the waves is a superposition of two running waves for which the product of velocity moduli is equal to the square of propagating thermal perturbations velocity. The non-uniform space in front of the waves is spatially periodic and is displayed as spatial coordinate beating. An example is built for disintegration of a weak discontinuity when time evolution in the perturbed region leads to forming a standing wave.