Критерии P-сверхразрешимости конечных групп

Abstract

Пусть H – подгруппа конечной группы G. Будем говорить, что подгруппа H τ-квазинормальной в G, если H перестановочна с каждой силовской подгруппой Q из G, такой что (|H|, | Q|) = 1 и (|H|, | QG|) ≠ 1. Доказан следующий результат. Пусть G = AT, где A – холлова π-подгруппа группы G и T – p-нильпотентная подгруппа для некоторого простого числа p ∉ π. Пусть P – силовская p-подгруппа в T и предположим, что подгруппа A τ-квазинормальна в G. Предположим, что существует такое число pk, что 1 < pk < |P| и A перестановочна с каждой подгруппой из P порядка pk и с каждой циклической подгруппой из P порядка 4 (если pk = 2 и P – неабелева подгруппа). Тогда группа G p-сверхразрешима.

Let G be a finite group and H a subgroup of G. We say that H is τ-quasinormal in G if H permutes with all Sylow subgroups Q of G such that (|Q|, |H|) = 1 and (|H |, |QG|) ≠ 1. The main result here is the following: Let G = AT, where A is a Hall π-subgroup of G and T is p-nilpotent for some prime p ∉ π, let P denote a Sylow p-subgroup of T and assume that A is τ-quasinormal in G. Suppose that there is a number pk such that 1 <pk <|P| and A permutes with every subgroup of P of order pk and with every cyclic subgroup of P of order 4 (if pk = 2 and P is non-abelian). Then G is p-supersoluble.