Распространение волн в нелокальной среде с нелинейными источниками энергии

Abstract

Рассмотрена динамика волн в системе «среда – источник энергии». Объемный источник энергии есть нелинейная функция температуры. Примером неклассического материала служит среда, обладающая слабой пространственной нелокальностью. Математическая модель таких процессов – волновое уравнение, содержащее дополнительный член с производной 4-го порядка по пространст- венной координате. Обсуждены два вида нелинейных источников: тригонометрическая нелиней- ность («двойной синус-Гордон», «синус-Гордон»); полиномиальная (5-й степени) нелинейность. Построены точные аналитические решения, представляющие собой волну переброса (кинк) и уединенную волну (впадину либо возвышение). Отличительная черта построенной волны переброса: аргументом арктангенса служит дробно-рациональная функция экспоненты волновой координаты. Уединенная волна есть дробно-рациональная функция волновой координаты. Определены закономерности влияния параметра нелокальности среды на дозвуковую и сверхзвуковую скорость движения волны. Изучена корреляция «аналитическая структура функции источника – профиль волны». Дана подробная иллюстрация дозвукового и сверхзвукового режимов движения волн в зависимости от немонотонных и знакопеременных свойств функции источника.

The dynamics of waves in the “medium – energy source” system are considered. The volumetric energy source is a nonlinear function of temperature. An example of a nonclassical material is a medium with weak spatial nonlocality. The mathematical model of such processes is a wave equation containing an additional term with a fourth-order spatial derivative. Two types of nonlinear sources are discussed: trigonometric nonlinearity (“double sine-Gordon”, “sine-Gordon”) and polynomial (fifth-degree) nonlinearity. Exact analytical solutions are constructed, representing a kink (wave overturn) and a solitary wave (either a trough or an elevation). A distinctive feature of the constructed kink wave is that the argument of the arctangent is a fractional-rational function of the exponential wave coordinate. The solitary wave is a fractional-rational function of the wave coordinate. The regularities of the influence of the medium's nonlocality parameter on the subsonic and supersonic wave propagation speeds are determined. The correlation between the “analytical structure of the source function – wave profile” is studied. A detailed illustration of subsonic and supersonic wave propagation regimes is provided, depending on the non-monotonic and sign-changing properties of the source function. МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ