Динамика неустойчивых решений волнового уравнения с источниками

Abstract

Получены два новых точных решения волнового уравнения с источниками. Изучена динамика неустойчивых состояний, описываемых этими решениями. Даны аналитические выражения частных производных искомой функции по пространственной координате и времени на плоскости независимых переменных «искомая функция - время». Такая структура решения позволяет рассмотреть нестационарные аналоги автомодельных кинков, описывающих переход между двумя состояниями равновесия системы «среда - источник». Для классического волнового уравнения применяется нелинейный реономный источник, поведение которого влияет на свойства релаксирующего кинка. Определены условия, при которых скорость перемещения сформировавшейся автомодельной волны переброса дозвуковая либо сверхзвуковая. Обнаружена важная роль величины скорости точки перегиба неавтомодельного кинка; вычислено пороговое значение этой скорости, разделяющее дозвуковой и сверхзвуковой режимы. Неустойчивый вариант представленного решения дает сильный разрыв искомой функции при неограниченном росте времени. Предвестником сильного разрыва является остановка точки перегиба кинка. Указана оценка величины момента времени, предшествующего началу возвратного движения точки перегиба. Дано решение пространственно нелокального волнового уравнения четвертого порядка с двумя аддитивно входящими источниками. Один источник линейным однородным образом зависит от искомой функции, второй - линейно зависит от модуля градиента искомой функции. Решение представляет собой аналог волны переброса в интервале с нестационарными границами. В каждый конечный момент времени это решение непрерывно, а за бесконечное время происходит потеря гладкости решения - имеем так называемый «медленный взрыв». В неустойчивом варианте решения изолинии искомой функции на вогнутом участке (нижняя часть кинка) движутся навстречу выпуклому участку, который примыкает к верхней границе кинка. В устойчивом варианте кинк вырождается в однородное состояние. Обнаружено, что для неавтомодельного процесса инверсия знака градиентного источника дает инверсию условий устойчивости кинка и антикинка. Неустойчивому кинку/антикинку соответствует градиентный сток/источник.

Two new accurate solutions of the wave equation with sources are obtained. The dynamics of unstable states described by these solutions is studied. Analytical forms are given for the partial derivatives of the required function with respect to the spatial coordinate and time on the plane of independent variables “the required function - time”. This structure of the solution allows us to consider nonstationary analogs of self-similar kinks describing the transition between two equilibrium states of the “medium - source” system. For the classical wave equation, a nonlinear rheonomic source is used, the behavior of which affects the properties of the relaxing kink. The conditions under which the speed of movement of the formed self-similar transfer wave is subsonic or supersonic are determined. An important role of the velocity of the inflection point of a nonselfsimilar kink has been analyzed; the threshold value of the velocity is calculated, which separates the subsonic and supersonic regimes. An unstable version of the presented solution gives a strong discontinuity of the required function with an unlimited increase in time. The stopping of the kink inflection point is an indicator of a strong rupture. An estimate of the value of the moment in time preceding the beginning of the return motion of the inflection point is indicated. A solution to a spatially nonlocal fourth-order wave equation with two additively entering sources is given. One source depends on the desired function in a linear homogeneous way; the second one depends on the modulus of the gradient of the desired function the same way. The solution is an analog of an overthrow wave in an interval with non-stationary boundaries. At each finite moment of time this solution is continuous, and for an infinite time there is a loss of smoothness of the solution, we have the so-called “slow explosion”. In the unstable solution, the isolines of the sought-for function on the concave section (the lower part of the kink) move towards the convex section, which is adjacent to the upper boundary of the kink. In the stable version, the kink degenerates into a homogeneous state. It has been analyzed that for a nonselfsimilar process, the inversion of the sign of the gradient source gives an inversion of the stability conditions for the kink and antikink. An unstable kink/ antikink corresponds to a gradient sink/source.